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<!DOCTYPE html>

<title>Fonction L</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Fonction L</span></h1>

</header>

</div>

<p>En <a href="Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, la théorie des <b>fonctions L</b> est devenue une branche très substantielle, et encore largement « <a href="Conjecture" title="Conjecture">conjecturelle</a> », de la <a href="Th%C3%A9orie_analytique_des_nombres" title="Théorie analytique des nombres">théorie analytique des nombres</a> contemporaine. On y construit de larges <a href="G%C3%A9n%C3%A9ralisation" title="Généralisation">généralisations</a> de la <a href="Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann" title="Fonction zêta de Riemann">fonction zêta de Riemann</a> et même des <a href="S%C3%A9rie_L_de_Dirichlet" title="Série L de Dirichlet">séries L associées à un caractère de Dirichlet</a> et on y énonce de manière systématique leurs propriétés générales, qui dans la plupart des cas sont encore hors de portée d'une <a href="D%C3%A9monstration_(logique_et_math%C3%A9matiques)" title="Démonstration (logique et mathématiques)">démonstration</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Les_fonctions_L">Les fonctions L</h2></div>

<p>Pour commencer, il faut distinguer la <b>série L</b> (par exemple les <a href="S%C3%A9rie_de_Dirichlet" title="Série de Dirichlet">séries de Dirichlet</a>) et la <b>fonction L</b> (par exemple la fonction zêta de Riemann, une fonction L d'un cas particulier des séries Dirichlet).

</p><p>La <b>fonction L</b> est le <a href="Prolongement_analytique" title="Prolongement analytique">prolongement analytique</a> au <a href="Plan_complexe" title="Plan complexe">plan complexe</a> de la série L.

</p><p>Les constructions générales démarrent avec une <b>série L</b>, d'abord définie comme une <a href="S%C3%A9rie_de_Dirichlet" title="Série de Dirichlet">série de Dirichlet</a>, puis développée en un <a href="Produit_eul%C3%A9rien" title="Produit eulérien">produit eulérien</a>, indexé par des <a href="Nombre_premier" title="Nombre premier">nombres premiers</a>. Des estimations<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[De quoi ?]</sup> sont requises pour démontrer que cela<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[Quoi ?]</sup> converge dans une moitié droite du <a href="Plan_complexe" title="Plan complexe">plan complexe</a>.

</p><p>Il est alors sensé<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[Pour qui ?]</sup> de conjecturer un prolongement <a href="Fonction_m%C3%A9romorphe" title="Fonction méromorphe">méromorphe</a> dans le plan complexe, qu'on appellera une fonction L. Dans les cas classiques<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[évasif]</sup>, on<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[Qui ?]</sup> sait que l'information utile est contenue dans les valeurs et le comportement de la fonction L aux points où la série diverge. Le terme général<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[Quoi ?]</sup> de fonction L comprend beaucoup de types connus de fonctions zêta. La <a href="Classe_de_Selberg" title="Classe de Selberg">classe de Selberg</a> est une tentative pour <a href="Axiomatisation" title="Axiomatisation">axiomatiser</a> les propriétés essentielles des fonctions L et encourager l'étude des propriétés communes à toutes ces fonctions plutôt que de chaque fonction L isolément.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples_de_fonctions_L">Exemples de fonctions L</h2></div>

<ul><li>la <a href="Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann" title="Fonction zêta de Riemann">fonction ζ de Riemann</a>, qui est l'exemple le plus classique ;</li>

<li>les fonctions L associées aux <a href="Forme_modulaire" title="Forme modulaire">formes modulaires</a> via la <a href="Transformation_de_Mellin" title="Transformation de Mellin">transformation de Mellin</a> ;</li>

<li>les <a href="S%C3%A9rie_L_de_Dirichlet" title="Série L de Dirichlet">fonctions L associées aux caractères</a>, qui permettent notamment de démontrer le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique" title="Théorème de la progression arithmétique">théorème de Dirichlet</a> sur les <a href="Nombre_premier" title="Nombre premier">nombres premiers</a> dans les <a href="Suite_arithm%C3%A9tique" title="Suite arithmétique">progressions arithmétiques</a> ;</li>

<li>les fonctions L des <a href="Motif_(g%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique)" title="Motif (géométrie algébrique)">motifs</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Information_conjecturale">Information conjecturale</h3></div>

<p>On peut lister les caractéristiques des exemples connus de fonctions L que l'on<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[Qui ?]</sup> souhaiterait voir généralisées<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><span title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 3 novembre 2023) ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></sup> :

</p>

<ul><li>localisation des zéros et des <a href="P%C3%B4le_(math%C3%A9matiques)" title="Pôle (mathématiques)">pôles</a> ;</li>

<li><a href="%C3%89quation_fonctionnelle_(fonction_L)" title="Équation fonctionnelle (fonction L)">équation fonctionnelle (fonction L)</a> relative à certaines droites verticales Re (<i>s</i>) = constante ;</li>

<li>valeurs intéressantes aux valeurs entières<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[pas clair]</sup>.</li></ul>

<p>Un travail détaillé<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><span title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 3 novembre 2023) ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></sup> a produit un grand corps de conjectures plausibles, par exemple à propos du type exact d'<a href="%C3%89quation_fonctionnelle" title="Équation fonctionnelle">équation fonctionnelle</a> qui devrait être vérifiée. Comme la fonction zêta de Riemann est reliée, par ses valeurs aux entiers positifs pairs et négatifs impairs, aux <a href="Nombres_de_Bernoulli" class="mw-redirect" title="Nombres de Bernoulli">nombres de Bernoulli</a>, on<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[Qui ?]</sup> recherche une généralisation appropriée de ce phénomène. Sur cette question, des résultats<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><span title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 3 novembre 2023) ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></sup> ont été obtenus<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[Par qui ?]</sup> pour ce que l'on appelle les <a href="Fonction_L_p-adique" title="Fonction L p-adique">fonctions L <i>p</i>-adiques</a>, qui décrivent certains <a href="Module_de_Galois" class="mw-redirect" title="Module de Galois">modules de Galois</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="L'exemple_de_la_conjecture_de_Birch_et_Swinnerton-Dyer"><span id="L.27exemple_de_la_conjecture_de_Birch_et_Swinnerton-Dyer"></span>L'exemple de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer</h3></div>

<p>Un des exemples les plus influents, tant pour l'histoire des fonctions L les plus générales que comme problème de recherche encore ouvert, est la conjecture développée par <a href="Bryan_Birch" title="Bryan Birch">Bryan Birch</a> et <a href="Peter_Swinnerton-Dyer" title="Peter Swinnerton-Dyer">Peter Swinnerton-Dyer</a> au début des années 1960<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><span title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 3 novembre 2023) ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></sup>.

</p><p>Elle s'applique à une <a href="Courbe_elliptique" title="Courbe elliptique">courbe elliptique</a> E, et le problème qu'elle essaie de résoudre est la prédiction du rang d'une courbe elliptique sur l'ensemble des <a href="Nombre_rationnel" title="Nombre rationnel">nombres rationnels</a>, c'est-à-dire le nombre de générateurs libres de son groupe de <a href="Point_rationnel" title="Point rationnel">points rationnels</a>. Beaucoup de travaux précédents dans ce domaine ont commencé à être unifiés autour d'une meilleure connaissance des fonctions L<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><span title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 3 novembre 2023) ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></sup>.

</p><p>Ceci joua le rôle d'un exemple <a href="Paradigme" title="Paradigme">paradigmatique</a> dans la théorie naissante des fonctions L<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><span title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 3 novembre 2023) ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Essor_de_la_théorie_générale"><span id="Essor_de_la_th.C3.A9orie_g.C3.A9n.C3.A9rale"></span>Essor de la théorie générale</h3></div>

<p>Ce développement<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><span title="Ce passage nécessite une précision (demandé le 3 novembre 2023) ; voir l'aide.">[Lequel ?]</span></sup> précéda le <a href="Programme_de_Langlands" title="Programme de Langlands">programme de Langlands</a> de quelques années, et peut être considéré<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[Par qui ?]</sup> comme complémentaire : le travail de <a href="Robert_Langlands" title="Robert Langlands">Langlands</a> est largement lié aux fonctions L d'<a href="Emil_Artin" title="Emil Artin">Artin</a>, qui, comme celles de <a href="Erich_Hecke" title="Erich Hecke">Hecke</a>, avaient été définies plusieurs décennies plus tôt<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><span title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 3 novembre 2023) ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></sup>.

</p><p>Graduellement il devint plus clair dans quel sens<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[pas clair]</sup> on pouvait faire fonctionner la <u>construction de Hasse-Weil</u><sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[Quoi ?]</sup> pour obtenir des fonctions L valides : dans le sens analytique ; les données de départ devaient venir de l'analyse, plus précisément de l'analyse <i>automorphe</i>. Le cas général unifie maintenant<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><span title="Ce passage devrait préciser au minimum la décennie ou l'année (demandé le 3 novembre 2023) ; voir l'aide.">[Quand ?]</span></sup> à un niveau conceptuel de nombreux programmes de recherche différents<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><span title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 3 novembre 2023) ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></sup>.

</p><p>Quelques liens pour aller plus loin :

</p>

<ul><li><a href="Hypoth%C3%A8se_de_Riemann_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9e" title="Hypothèse de Riemann généralisée">Hypothèse de Riemann généralisée</a></li>

<li><a href="Conjecture_d'Artin_sur_les_fonctions_L" title="Conjecture d'Artin sur les fonctions L">Conjecture d'Artin sur les fonctions L</a></li>

<li><a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_modularit%C3%A9" title="Théorème de modularité">Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Références"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Références</h2></div>

<ul><li><span class="ouvrage" id="Serre1970"><span class="ouvrage" id="Jean-Pierre_Serre1970"><a href="Jean-Pierre_Serre" title="Jean-Pierre Serre">Jean-Pierre Serre</a>, <cite class="italique">Cours d'arithmétique</cite>, <time>1970</time> <small>[détail des éditions]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Cours+d%27arithm%C3%A9tique&rft.aulast=Serre&rft.aufirst=Jean-Pierre&rft.date=1970&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AFonction+L"></span></span></span></li></ul>

<ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé <span class="">« <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/L-function?oldid=9694702">L-function</a> » <small>(<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/L-function?action=history">voir la liste des auteurs</a>)</small></span>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Articles_connexes">Articles connexes</h2></div>

<ul><li>Valeurs spéciales de fonctions L <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Special_values_of_L-functions" class="extiw external" title="en:Special values of L-functions"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Special values of L-functions »">(en)</span></a></li>

<li><a href="Fonction_L_p-adique" title="Fonction L p-adique">Fonction L p-adique</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Liens_externes">Liens externes</h2></div>

</p>

<li><div class="liste-horizontale"><span class="wd_identifiers"><a href="Autorit%C3%A9_(sciences_de_l'information)" title="Autorité (sciences de l'information)">Notices d'autorité</a></span> : <ul><li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13163190s">BnF</a></span> (<span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb13163190s">données</a></span>)</li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.loc.gov/authorities/sh85073592">LCCN</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nli.org.il/en/authorities/987007548335605171">Israël</a></span></li> </ul></div></li></ul>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de l'analyse</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

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